Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 2
Двойной интеграл 2.
18 сентября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Замена переменных в двойном интеграле
Рассматриваются функции f (x, y), интегрируемые на измеримом
компакте Gx, y .
Опр. Заменой переменных называют биективное отображение
u;v r x, y области Gu,v в область Gx, y , переводящее внутренние точки Gu,v во внутренние точки Gx, y , а границу Gu,v - в границу Gx, y . Замена задается векторнозначной функцией r r (u,v) или в
x x(u,v), координатах
y y(u,v) x x(u,v) и y y(u, v).
Примеры замен переменных
1. Линейная замена: |
x au bv |
с ненулевым определителем ad bc 0 |
|
||
|
y cu dv |
|
Образом единичного квадрата Du,v (u, v) : 0 u 1,0 v 1 является параллелограмм, построенный на векторах с координатами a;c и b; d
Площадь параллелограмма равна модулю определителя |
|
a |
b |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Опр. Якобианом замены переменной называют определитель J |
xu |
xv |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yu |
yv |
|
Якобиан линейной замены равен |
|
a |
b |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразования близкие к линейным
2. x x0 a u b v o(1) u o(1) vy y0 c u d v o(1) u o(1) v
Sx0 , y0
Su0 ,v0
площадь образа прямоугольника (криволинейная зеленая область)u v площадь прообраза
Sx0 , y0 |
|
a |
b |
|
|
|
|||
|
det |
|
u v o(1) u v |
|
|
|
c |
d |
|
Полярная замена переменных
x r cos , 2. Полярная замена.
y r sin .
r, |
|
|
r; |
|
: 0 r 1; 0 2 |
|
отображается в |
|||
Прямоугольник D |
|
|
|
|
|
|||||
x, y |
|
x; y |
: x2 y2 |
|
|
|
||||
единичный круг D |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
Якобиан преобразования: J (r, ) |
|
xr |
yr |
|
|
|
cos |
sin |
|
r |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
r sin |
r cos |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула замены переменных
Теорема. Функция f (x, y) непрерывна на компакте Gx, y . Замена
переменных |
x x(u,v), |
осуществляет биективное отображение |
|
||
|
y y(u,v) |
|
компакта Gu,v и переводит Gu,v в Gx, y . Функции x(u, v) и y(u, v) имеют непрерывные частные производные в Gu,v . Тогда имеет место равенство:
f (x, y)dxdy f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) dudv,
|
|
Gx ,y |
Gu ,v |
||
где |
|
J (u,v) |
|
|
модуль якобиана замены. |
|
|
||||
Доказательство формулы
Док.
p : |
x x(ui ,v) |
, v v |
;v |
|
, |
|
|
||||||
i |
j |
|
j 1 |
|
||
|
y y(ui ,v) |
|
|
|
|
x x(u,vj ) |
, u ui ;ui 1 , |
lj : |
|
y y(u,vj ) |
|
p |
: |
x x(ui 1,v) |
, v v |
;v |
|
|
i 1 |
|
|
,v) |
j |
|
j 1 |
|
|
y y(ui 1 |
|
|
|
|
l j 1 |
x x(u,v |
j 1 |
) |
, |
u ui ;ui 1 |
: |
|
||||
|
y y(u,v j 1 ) |
|
|
||
Продолжение доказательства
Разложим функции x x(u,v), y y(u,v) по формуле Тейлора в
точке ui |
|
|
|
x x(ui ;vj |
) a ui b vj |
o(1) ui |
o(1) v j |
|
||||||||||||||||
;vj : y y(u ;v |
) c u d v |
j |
o(1) u |
o(1) v |
j |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
i |
|
i |
|
|
||||||
где J(ui ;vj ) |
|
a |
|
b |
|
якобиан замены переменной. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Площадь образа Si, j |
|
J(ui ;vj ) |
|
ui vj o(1) ui vj . Тогда |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (xi, j ; yi, j )Si, j |
|
|
||||||||||||||||||||||
G |
x ,y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j G |
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i , j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (xi, j ; yi, j ) |
|
J (ui ,vj ) |
|
ui vj o(1) f (xi, j ; yi, j ) ui vj |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
o(1) |
|
J (ui ,vj ) |
|
ui vj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение доказательства
Второе и третье слагаемые стремится к нулю, при d 0,
поскольку функция f (x, y) и якобиан преобразования ограничены, |
|
а область Gu,v измерима. |
|
Тогда f (xi, j ; yi, j ) J (ui ,vj ) ui vj f (x, y)dxdy o(1). |
|
i, j |
Gx ,y |
|
dxdy |
|
|
Пример. Вычислить интеграл G x2 y2 |
, где G область на плоскости |
||
с границей xy 1, xy 2, |
y x, y 4x, |
x 0, y 0. |
|
Пример замены переменной
|
|
|
|
|
|
|
u xy |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
u |
|
|
|
x |
|
u |
||||||||||
Сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
или |
x |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
v |
|
v |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y u v |
||||||||||||||
Вычислим якобиан замены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xu |
2 u |
v |
xv |
2v |
v |
|
yu |
|
|
yv |
2 v |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
J (u,v) |
xu |
|
xv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4v |
|
4v |
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
yu |
|
yv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||